Question

Вычислить предел( любой , желательно первый) . Решите пожалуйста , не могу решить, а скоро экзамен... ( задание в приложении

Answer 1

1.
$lim_{x to 3} frac{9-x^2}{ sqrt{3x}-3 }= lim_{xto 3} (- frac{(x-3)(x+3)}{ sqrt{3x}-3 } )= \ =lim_{x to 3} (- frac{( sqrt{x} - sqrt{3} )( sqrt{x} + sqrt{3} )(x+3)}{ sqrt{3}( sqrt{x} - sqrt{3} ) } ) = \ \ = lim_{x to 3} (- frac{( sqrt{x} + sqrt{3} )(x+3)}{ sqrt{3}} )=- frac{( sqrt{3}+ sqrt{3} )(3+3)}{ sqrt{3} }= \ \ =- frac{2 sqrt{3}*6 }{ sqrt{3} }=-12$

2.
$lim_{x to 1} ( frac{1}{x-1}- frac{2}{x^2-1} )= lim_{x to 1} ( frac{1}{x-1}- frac{2}{(x-1)(x+1)} )= \ \ = lim_{x to 1} ( frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)} )= lim_{x to 1} frac{x-1}{(x-1)(x+1)}= \ \ = lim_{x to 1} frac{1}{x+1}= frac{1}{1+1}= frac{1}{2}=0.5$

3.
Разложим x²+3x-10 на множители:
x²+3x-10=0
D=9+40=49
x₁=(-3-7)/2= -5
x₂=(-3+7)/2=2
x²+3x-10=(x+5)(x-2)

$lim_{x to --5} frac{x^2+3x-10}{x+5}= lim_{x to --5} frac{(x+5)(x-2)}{x+5}= \ \ = lim_{x to --5} (x-2)=-5-2=-7$

4.
$lim_{x to - frac{ pi }{4} } frac{sinx-cosx}{cos2x}= lim_{x to frac{ pi }{4} } (- frac{cosx-sinx}{cos^2x-sin^2x} )= \ \ = lim_{x to frac{ pi }{4} } (- frac{cosx-sinx}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)} )= lim_{x to frac{ pi }{4} } (- frac{1}{cosx+sinx} )= \ \ =- frac{1}{cos frac{ pi }{4}+sin frac{ pi }{4} }=- frac{1}{ frac{ sqrt{2} }{2}+ frac{ sqrt{2} }{2} }= - frac{1}{ sqrt{2} }= - frac{ sqrt{2} }{2}$

5.
$lim_{x to 1} frac{x^3-1}{(x^3-1)+(x-1)}= lim_{x to 1} frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)}= \ \ = lim_{xto 1} frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1+1)}= lim_{x to 1} frac{x^2+x+1}{x^2+x+2}= \ \ = frac{1^2+1+1}{1^2+1+2}= frac{3}{4}=0.75$

6.
Разложим на множители:
3x²+2x-1=0
D=4+12=16
x₁=(-2-4)/6=-1
x₂=(-2+4)/6=2/6=1/3
3x²+2x-1=3(x+1)(x - ¹/₃) = (x+1)(3x-1)

Разложим на множители:
2x²+x-1=0
D=1+8=9
x₁=(-1-3)/4=-1
x₂=(-1+3)/4=2/4=1/2
2x²+x-1=2(x+1)(x-¹/₂)=(x+1)(2x-1)

$lim_{x to -1} frac{3x^2+2x-1}{2x^2+x-1} = lim_{x to -1} frac{(x+1)(3x-1)}{(x+1)(2x-1)}= \ \ = lim_{x to -1} frac{3x-1}{2x-1}= frac{3*(-1)-1}{2*(-1)-1}= frac{-4}{-3}=4/3=1 frac{1}{3}$

7.
$lim_{x to 3} frac{x^3-27}{x^3-3x^2-3x+9} = lim_{x to 3} frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2(x-3)-3(x-3)}= \ \ = lim_{x to 3} frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x^2-3)}= lim_{x to 3} frac{x^2+3x+9}{x^2-3}= \ \ = frac{3^2+3*3+9}{3^2-3}= frac{9+9+9}{9-3}= frac{27}{6}= frac{9}{2}=4.5$