Question

( 1 − 2 x )^ 3 ∙ ( 3 − 2 x) ^2 ∙ ( 2 x − 5 ) ^5 ≤ 0

Answer 1

Введем условные обозначения
(1) 1-2x
(2) 3-2x
(3) 2x-5

Заметим, что $(3-2x)^{2}$ никогда не меняет знака, так как всегда положительно либо равно нулю. Если оно равно нулю, то все выражение равно нулю, что будет верно.
3-2x=0
2x=3
x=32. Это единственное x, при котором (2) имеет возможность поменять знак 
(1) и (3) же могут изменять знак. Заметим, что выражение будет меньше либо равно 0, если они будут иметь разный знак или одно или оба будут равны 0. 
Две системы получаем:
$left { {{1-2x geq 0} atop {2x-5 leq 0}} right.$
$left { {{1-2x leq 0} atop {2x-5 geq 0}} right.$
Решаем эти системы.
1) $left { {{x geq 1/2} atop {x geq 5/2} right.$
    Итог - x≥2,5
2) $left { {{1-2x geq 0} atop {2x-5 leq 0}} right.$
    Итог - x≤0,5
Ответ: x≤12 , x≥5/2, x=3/2