Question

Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Answer 1

Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.

 

Вводим ортонормированный базис $left{mathbf{i},mathbf{j}right}$ в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты $left(AB; 0right)$ и $left(0; ACright)$, а гипотенуза $mathbf{AB} + mathbf{BC} = mathbf{AC} ;; Rightarrow ;; mathbf{BC} = mathbf{AC} - mathbf{AB}$— компоненты $left(-AB; ACright)$.

 

Половина вектора $frac{1}{2}mathbf{BC} = mathbf{BE}$, конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты $left(-frac{AB}{2}; frac{AC}{2}right)$. Следовательно, медиана $mathbf{AE} = mathbf{AB} + mathbf{BE}$ будет иметь компоненты $left(<var>AB - frac{AB}{2}; 0 + frac{AC}{2}</var>right) = left(<var>frac{AB}{2}; frac{AC}{2}</var>right)$.

 

Находим длину (норму) вектора $mathbf{AE}$, которая и будет представлять длину медианы:

$||mathbf{AE}|| = sqrt{mathbf{AE} cdot mathbf{AE}} = frac{1}{2}sqrt{AB^2 + AC^2}$.

 

А длина (норма) вектора гипотенузы $mathbf{BC}$:

$||mathbf{BC}|| = sqrt{(-AB)^2 + AC^2}$.

 

Следовательно, длина медианы AE в точности равна половине длины гипотенузы BC.

Утверждение доказано.