Question

Помогите, пожалуйстаааааааааааааа

Answer 1

$intlimits { frac{2^x}{ sqrt{1-4^x} }} , dx$
делаем замену переменных
$2^{x} =t$
Поэтому
$2^{x}ln2dx= dt$ или $2^{x}dx = frac{dt}{ln2}$
Подставляем полученные выражения под знак интеграла получим
$intlimits { frac{2^x}{ sqrt{1-4^x} }} ,dx=intlimits { frac{dt}{ ln2sqrt{1-t^2} }}= frac{1}{ln2}intlimits { frac{dt}{sqrt{1-t^2} }}= frac{arcsin(t)}{ln2}+C= frac{arcsin(2^x)}{ln2}+C$

$intlimits{ frac{1}{3e^x-2}} , dx$
делаем замену переменных
$e^x=u$
Поэтому
$e^xdx=dt$ или $dx = frac{du}{u}$
Подставим полученные выражения под знак интеграла
$intlimits{ frac{1}{3e^x-2}} , dx= intlimits{ frac{1}{u(3u-2)}} , du$
Дробь под знаком интеграла раскладываем на простые
$frac{1}{u(3u-2)}= frac{A}{u}+ frac{B}{3u-2}= frac{A(3u-2)+Bu}{u(3u-2)}= frac{u(3A+B)-2A}{u(3u-2)}$
Неизвестные коэффициенты А и В найдем решив систему уравнений
$left { {{3A+B=0} atop {-2A=1}} right.$
$left { {{B=-3A} atop {A=- frac{1}{2}}} right.$
$left { {{B= frac{3}{2} } atop {A=- frac{1}{2}}} right.$
Подставим все под знак интеграла
$intlimits{ frac{1}{u(3u-2)}} , du=intlimits{(- frac{1}{2u}+ frac{3}{2(3u-2)})} , du=- frac{1}{2} intlimits{ frac{1}{u}} , du+ frac{1}{2}intlimits{ frac{1}{3u-2}} , d3u=$
$=- frac{1}{2}ln(u)+ frac{1}{2}ln(3u-2)+C = - frac{1}{2}ln(e^x)+ frac{1}{2}ln(3e^x-2)+C=$
=$- frac{x}{2}+ frac{1}{2}ln(3e^x-2)+C$