Question

Помогите пожалуйста решить 2sin x cos x + 5 cos² x =4

Answer 1

в ходе решения этого уравнения нужно знать формулу введения вспомогательного угла:
$Asin alpha +Bcos alpha = sqrt{A^2+B^2} sin( alpha +arcsin frac{B}{sqrt{A^2+B^2}} )$
и формулу понижения степени:
$cos^2x= frac{1+cos2x}{2}$
$2sin x cos x + 5 cos^2 x =4 \ sin2x+5 frac{1+cos2x}{2} =4|*2 \ 2sin2x+5(1+cos2x)=8 \ 2sin2x+5+5cos2x=8 \ 2sin2x+5cos2x=3 \ sqrt{2^2+5^2} sin(2x+arcsin frac{5}{ sqrt{2^2+5^2} } )=3 \ sqrt{29} sin(2x+arcsin frac{5}{ sqrt{29} } )=3 \ sin(2x+arcsin frac{5}{ sqrt{29} } )= frac{3}{ sqrt{29} } \ 2x+arcsin frac{5}{ sqrt{29} }=(-1)^narcsin frac{3}{ sqrt{29} }+ pi n$,
$2x=(-1)^narcsin frac{3}{ sqrt{29} }-arcsin frac{5}{ sqrt{29} } +pi n \ x= frac{1}{2} ((-1)^narcsin frac{3}{ sqrt{29} }-arcsin frac{5}{ sqrt{29} } +pi n),$
n∈Z