Question

Могут ли числа корень из 3;2; корень из 8 быть членами(необязательно последовательными) арифметической прогрессии?

Answer 1

Не могут. Предположим, что d - разность такой прогрессии. Тогда при некоторых целых n,m должно быть $sqrt{3}+dn=2$ и $2+dm= sqrt{8}$. Отсюда 
$d= frac{(2- sqrt{3} )}{n}= frac{( sqrt{8}-2 )}{m}$. Т.е. $frac{ sqrt{8} }{m} + frac{ sqrt{3} }{n} = frac{2}{n} + frac{2}{m}$. Возводим это равенство в квадрат, и получаем, что $frac{8}{m^{2} }+ frac{3}{n^{2} }+ frac{4 sqrt{6} }{mn}=( frac{2}{n}+ frac{2}{m} )^{2}$, откуда следует, что число $sqrt{6}$ - рационально. А это не так.