Question

найдите арифметическую прогрессию( an)если сумма второго и четвертого ее членов равна 14, а сумма квадратов ее первого и третьего членов равна 50

Answer 1

а₁ - первый член данной арифметической прогрессии
(а₁ + d) - второй её член
(a₁ + 2d) - третий
(a₁ + 3d) - четвёртый
По условию
а₂ + а₄ = 14
(а₁ + d) + (a₁ + 3d) = 14 
2a₁ + 4d = 14
a₁ + 2d = 7
a₁ = 7 - 2d выразили а₁ через знаменатель прогрессии d
По условию
a₁² + a₃² = 50
т.е. 
a₁² + (a₁ + 2d)² = 50
Заменив а₁ выражением (7 - 2d), получим
(7 - 2d)² + (7 - 2d + 2d)² = 50
49 - 28d + 4d² + 49 = 50
4d² - 28d + 48 = 0 
разделив обе части уравнения на 4, получим 
d² - 7d + 12 = 0 
D = 49 - 4 * 1 * 12 = 49 -48 = 1
√D = √1 = 1
d₁ = (7 + 1) / 2 = 4
d₂ = (7 - 1) / 2 = 3
1)
найдём а₁ при знаменателе прогрессии d₁ = 4, подставив его в
 a₁ = 7 - 2d 
a₁ = 7 - 2*4 = 7- 8 = -1
Получим прогрессию  
- 1; 3; 7; 11; 15; ....
2)
при  d₂ = 3 получим a₁ = 7 - 2 * 3 = 7 - 6 = 1
Получим прогрессию
1; 4; 7; 10; 13; 16;...
Обе удовлетворяют условию
Ответ: - 1; 3; 7; 11; 15; 19;.... первая прогрессия
             1; 4; 7; 10; 13; 16;.... вторая