Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2x-2 и графиком её первообразной F(x), зная, что F(0)=1

Answer 1

f(x) = 2x - 2     - линейная функция, график - прямая линия.

$F(x) = int {(2x-2)} , dx =x^2-2x+C\\F(0)=1;~~Rightarrow~~0^2-2cdot 0+C=1;~~boldsymbol{C=1}$

F(x) = x² - 2x + 1       F(x) = (x - 1)²   - парабола, вершина в т. (1; 0)

Границы интегрирования :

x² - 2x + 1 = 2x - 2;     x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0;    x₁ = 1;  x₂ = 3

На интервале  x∈[1;3]    график линейной функции f(x) расположен выше графика первообразной F(x).

$S=intlimits^3_1 {Big((2x-2)-(x^2-2x+1)Big)} , dx =\\~~=intlimits^3_1 {Big(-x^2+4x-3Big)} , dx =-dfrac 13x^3+2x^2-3x~Big|_1^3~=\\\=-dfrac 13(3^3-1^3)+2(3^2-1^2)-3(3-1)=\\=-dfrac {26}3+2cdot 8-3cdot 2=-8dfrac 23+10=1dfrac 13$

$boxed{boldsymbol{S=1dfrac 13}}$