Question

Найти общее решение:

y``-6y`+10y=51e^-x

Answer 1

1)  Составляем характеристическое ур-е к однородной части 
('y''- 6y'+10=0)  данного уравнения^
л² - 6л +10 = 0
D =36 -40 = -4;    √D=+-2i
л1 =( 6-2i)/2=3-i;    л2=(6+2i)/2 =3+i (cопряжённые комплексные корни)
   Общее решение: y=e^(3x) *(C1*соsx+С2*sinx)
Частное решение ищем в виде:
yh = Ae^( - x)
yh' = - Ae^(-x) - первая производная
yh'' = Ae^(-x) - вторая
Подставляем yh и полученные производные в неоднородное уравнение:
Ae^-x +6Ae^-x +10Ae^-x =51e^x
17*A*e^-x = 51e^x
A=3   Частное решение: yh = 3e^-x
Общее решение: у = e^(3x)(C1*cosx +C2*sinx) + 3e^-x

Answer 2

у отрицательного дискриминанта нет корней