Question

Неравенство ЕГЭ
$frac{ 4^{x}- 2^{x+4}+30 }{ 2^{x}-2 }+ frac{ 4^{x}-7* 2^{x}+3 }{ 2^{x}-7 } leq 2^{x+1} -14$

Answer 1

$2^x=t, t textgreater 0$
$frac{t^2-16t+30}{t-2} + frac{t^2-7t+3}{t-7} leq 2t-14$
Выделим в каждой дроби целую часть:
$frac{t(t-2)-14t+30}{t-2} + frac{t(t-7)+3}{t-7} leq 2t-14\ t+frac{-14t+30}{t-2} +t+ frac{3}{t-7} leq 2t-14\ 14+frac{-14t+30}{t-2} + frac{3}{t-7} leq 0\ frac{14t-28-14t+30}{t-2} + frac{3}{t-7} leq 0\ frac{2}{t-2} + frac{3}{t-7} leq 0$
$frac{2t-14+3t-6}{(t-2)(t-7)} leq 0\ frac{5t-20}{(t-2)(t-7)} leq 0\ frac{t-4}{(t-2)(t-7)} leq 0$
Отсюда с учетом условия t > 0 получим 0 < t < 2  или 4 ≤ t < 7.
$2^x textless 2$ или $4 leq 2^x textless 7$
x < 1 или 2 ≤ х < $log_27$
Ответ: (-∞; 1)U[2; $log_27$)