Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу, приведённую ниже.


В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, где S-вершина, ребро SA=8, а высота этой пирамиды SO=$4 sqrt{3}$, к SA провели перпендикуляр CT.
а) Докажите, что CT-медиана.
б) Найдите расстояние между CT и AB

Answer 1

В тр-ке SAO AО²=SA²-SO²=64-48=16,
АО=4,
АС=2АО=8.
В тр-ке SAC все стороны равны, значит высота СТ является медианой. Доказана часть а).

В тр-ке АСТ АТ=SA/2=4.
Проведём перпендикуляр ТК на сторону АВ. АТ⊥СТ, ТР⊥АВ, значит ТР⊥СТ. Ищем ТР.
В квадрате АВСД сторона АВ=АС/√2=8/√2=4√2.
В тр-ке SAB SK - высота. cosA=AK/SA=AB/2SA=4√2/16=√2/4.
В тр-ке АРТ ТР=АТ·sinA.
sin²A=1-cos²A=1-2/16=14/16.
sinA=√14/4.
ТР=4·√14/4=√14 - это ответ.

Answer 2

AM=AT=4, это итак понятно, но мне же нужно найти расстояние от CT до AB, а оно явно не равно AT, потому как AT не перпендикулярно AB!

Answer 3

хорошо, сейчас исправлю.

Answer 4

TP можно найти проще, это половина апофемы. Но сомневаюсь, что найти нужно TP, так как не доказано, что TP перпендикулярно CT. Расстояние между прямыми есть отрезок, являющийся перпендикуляром для обеих прямых. Также данные прямые являются скрещивающимися, может это как-то поможет...

Answer 5

из попарной перпендикулярности прямых, лежащих в разных плоскостях, совершенно не следует перпендикулярность двух из этих прямых в третьей плоскости...

Answer 6

решение для а) в одну строку...
б) общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых построить не всегда легко... можно построить плоскость, параллельную прямой АВ и содержащую прямую СТ)))
т.к. прямая (АВ) параллельна плоскости, то расстояние от любой точки этой прямой до плоскости одинаковое... и оно же будет расстоянием до прямой (СТ), лежащей в этой плоскости)))
осталось найти это расстояние ---высоту треугольника MTN
плоскость, параллельная прямой АВ -это сечение пирамиды - равнобедренная трапеция... TN -высота трапеции...
(надеюсь, в вычислениях нигде не ошиблась...)

Answer 7

Совсем забыл, что через одну из скрещивающихся прямых нужно провести плоскость, параллельную второй прямой и потом уже искать нужное расстояние) Спасибо огромной! Снова вы меня выручили) Людей, способных решать такие задачи, видимо, на сайте не так много...

Answer 8

Спасибо)) за добрые слова...