Question

Докажите, что заданная функция убывает:

y=-x^3+3x^2-6x+1 на (-бесконечность: + бесконечность)

Answer 1

y'(x)=-3x^2+6x-6=-3(x^2-2x+2)=0, но равно 0 быть не может так как D<0, тогда подставим любое значение, например х=0, y'(0)=-6 <0, значит она постоянно убывает

Answer 2

$y'=(-x^3+3x^2-6x+1)'=-3x^2+6x-6 \ \ -3x^2+6x-6=-3(x^2-2x+2)=-3(x^2-2x+1+1)= \ \ =-3((x-1)^2+1)$

 

Выражение $(x-1)^2$ всегда больше или равно 0, еще +1 значит точно всегда больше 0 и умножить на -3 значит всегда меньше 0. То есть производная функции всегда меньше 0, а это значит что функция убывает на $(-infty; +infty)$