Question

На доске написаны числа 1,2,3,..., 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 30 и отлична от каждой из сумм троек
чисел, стертых по предыдущих ходах.
А) Приведите пример последовательных 4 ходов

Б) Можно ли сделать 8 ходов?

В) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Answer 1

в) Предположим, нам удалось вычеркнуть n сумм.

С одной стороны, сумма всех вычеркнутых чисел не меньше 1 + 2 + 3 + ... + 3n = 3n (3n + 1)/2; с другой стороны, сумма вычеркнутых чисел не больше 29 + 28 + 27 + ... + (30 - n) = n (59 - n) / 2. Поэтому n (59 - n) / 2 ≥ 3n (3n + 1)/2; 59 - n ≥ 9n + 3; n ≤ 5.

Покажем, что n = 5 возможно:

1 + 11 + 17 = 29

2 + 10 + 16 = 28

3 + 9 + 15 = 27

4 + 8 + 14 = 26

5 + 7 + 13 = 25

а) Например, первые 4 примера выше

б) Нет, по доказанному

Ответ. б) нет; в) 5