Question

logx(sqrt(x^2+2x-3)+2)log5(X^2+2x-2)>=logx4

Answer 1

1) Область определения логарифма
{ x > 0; x =/= 1
{ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) > 0
Отсюда
{ x > 0; x =/= 1
{ x < -3 U x > 1
В итоге: x > 1

Это значит, что логарифм по основанию х - возрастающий.
Кроме того, если x^2 + 2x - 3 > 0. то x^2 + 2x - 2 тоже > 0

2) Теперь решаем само неравенство
$log_x( sqrt{x^2+2x-3} +2)*log_5(x^2+2x-2) geq log_x(4)$
По одному из свойств логарифмов
$log_a(b)= frac{log_c(b)}{log_c(a)}$
Причем новое основание с может быть каким угодно, например, 10.
$frac{lg(sqrt{x^2+2x-3} +2)}{lg(x)} * frac{lg(x^2+2x-2)}{lg(5)} geq frac{lg(4)}{lg(x)}$
Замена $sqrt{x^2+2x-3}=y; x^2+2x-3=y^2;x^2+2x-2=y^2+1$
$frac{lg(y+2)}{lg(x)} * frac{lg(y^2+1)}{lg(5)} geq frac{lg(4)*lg(5)}{lg(x)*lg(5)}$
Поскольку x > 1, то lg (x) > 0, поэтому при умножении на знаменатель знак неравенства не меняется.
$lg(y+2)* lg(y^2+1) geq lg(4)*lg(5)$
Единственное решение уравнения: y = 2, тогда y + 2 = 4, y^2 + 1 = 5.
Решение неравенства: y >= 2
$y=sqrt{x^2+2x-3} geq 2$
$x^2+2x-3 geq 4$
$x^2+2x-7 geq 0$
$D=2^2-4(-7)=4+28=32=(4 sqrt{2} )^2$
$x1= frac{-2-4 sqrt{2} }{2} =-1-2 sqrt{2}$
$x2= frac{-2+4 sqrt{2} }{2} =-1+2 sqrt{2}$
x ∈ (-oo; -1-2√2] U [-1+2√2; +oo)
Но по области определения x > 1
Ответ: x ∈ [-1+2√2; +oo)