Question

помогите пожалуйста!!Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Радиус сходимости найдём по формуле Коши(рис 1):
$R=lim_{ntoinfty}sqrt[n]{frac{1}{4^n*n^2}}=frac{1}{4}\r=frac{1}{R}=4$

Интервал сходимости:
|x-2|<4
x-2<4 ; x-2>-4
x<6 ; x>-2
x∈(-2;6)
Но мы не знаем сходиться ли ряд на концах отрезка.
Остаётся это проверить.
$sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-2-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n*4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n^2}$
Используем признак Лейбница для знакочередующих рядов(рис 3).
Функция $frac{1}{n^2}$ монотонна и:
$lim_{ntoinfty}|frac{(-1)^n}{n^2}|=lim_{ntoinfty}frac{1}{n^2}=0$
Следовательно ряд сходится.

$sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(6-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{1}{n^2}$
Это обобщённый гармонический ряд(рис 2). α>1 - ряд сходиться.

Интервал сходимости степенного ряда $sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(x-2)^n}{4^n*n^2}$:
$xin [-2;6]$