Предмет: Алгебра,
автор: Таня1888
помогите пожалуйста!!Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
Приложения:
![](https://files.topotvet.com/i/1a4/1a48f4ffbab91ca969935a404efd1993.jpg)
Ответы
Автор ответа:
0
Решение в приложении.
Приложения:
![](https://files.topotvet.com/i/b58/b588862db04f63347cf02e6712d2c66e.png)
Автор ответа:
0
Радиус сходимости найдём по формуле Коши(рис 1):
![R=lim_{ntoinfty}sqrt[n]{frac{1}{4^n*n^2}}=frac{1}{4}\r=frac{1}{R}=4 R=lim_{ntoinfty}sqrt[n]{frac{1}{4^n*n^2}}=frac{1}{4}\r=frac{1}{R}=4](https://tex.z-dn.net/?f=R%3Dlim_%7Bntoinfty%7Dsqrt%5Bn%5D%7Bfrac%7B1%7D%7B4%5En%2An%5E2%7D%7D%3Dfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cr%3Dfrac%7B1%7D%7BR%7D%3D4)
Интервал сходимости:
|x-2|<4
x-2<4 ; x-2>-4
x<6 ; x>-2
x∈(-2;6)
Но мы не знаем сходиться ли ряд на концах отрезка.
Остаётся это проверить.
![sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-2-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n*4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n^2} sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-2-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n*4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n^2}](https://tex.z-dn.net/?f=sumlimits_%7Bn%3D0%7D%5E%7Binfty%7Dfrac%7B%28-2-2%29%5En%7D%7B4%5En%2An%5E2%7D%3Dsumlimits_%7Bn%3D0%7D%5E%7Binfty%7Dfrac%7B%28-1%29%5En%2A4%5En%7D%7B4%5En%2An%5E2%7D%3Dsumlimits_%7Bn%3D0%7D%5E%7Binfty%7Dfrac%7B%28-1%29%5En%7D%7Bn%5E2%7D)
Используем признак Лейбница для знакочередующих рядов(рис 3).
Функция
монотонна и:
![lim_{ntoinfty}|frac{(-1)^n}{n^2}|=lim_{ntoinfty}frac{1}{n^2}=0 lim_{ntoinfty}|frac{(-1)^n}{n^2}|=lim_{ntoinfty}frac{1}{n^2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=lim_%7Bntoinfty%7D%7Cfrac%7B%28-1%29%5En%7D%7Bn%5E2%7D%7C%3Dlim_%7Bntoinfty%7Dfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3D0)
Следовательно ряд сходится.
![sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(6-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{1}{n^2} sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(6-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{1}{n^2}](https://tex.z-dn.net/?f=sumlimits_%7Bn%3D0%7D%5E%7Binfty%7Dfrac%7B%286-2%29%5En%7D%7B4%5En%2An%5E2%7D%3Dsumlimits_%7Bn%3D0%7D%5E%7Binfty%7Dfrac%7B4%5En%7D%7B4%5En%2An%5E2%7D%3Dsumlimits_%7Bn%3D0%7D%5E%7Binfty%7Dfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D)
Это обобщённый гармонический ряд(рис 2). α>1 - ряд сходиться.
Интервал сходимости степенного ряда
:
Интервал сходимости:
|x-2|<4
x-2<4 ; x-2>-4
x<6 ; x>-2
x∈(-2;6)
Но мы не знаем сходиться ли ряд на концах отрезка.
Остаётся это проверить.
Используем признак Лейбница для знакочередующих рядов(рис 3).
Функция
Следовательно ряд сходится.
Это обобщённый гармонический ряд(рис 2). α>1 - ряд сходиться.
Интервал сходимости степенного ряда
Приложения:
![](https://files.topotvet.com/i/f4f/f4f470041ec2abff93b2cbd2e5e69dd0.png)
![](https://files.topotvet.com/i/e05/e05e0280f5c0400c2e69322192d15c14.png)
![](https://files.topotvet.com/i/e44/e445140a94b8999165113a52c0abe3db.png)
Похожие вопросы
Предмет: Математика,
автор: 0tyryrtfuhtyryrjruty
Предмет: Геометрия,
автор: natali280606
Предмет: Русский язык,
автор: neznaushly
Предмет: Обществознание,
автор: 010503030501
Предмет: Математика,
автор: sergeysmotrov03