Предмет: Алгебра, автор: Таня1888

помогите пожалуйста!!Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Приложения:

Ответы

Автор ответа: SergFlint
0
Решение в приложении.
Приложения:
Автор ответа: red321
0
Радиус сходимости найдём по формуле Коши(рис 1):
R=lim_{ntoinfty}sqrt[n]{frac{1}{4^n*n^2}}=frac{1}{4}\r=frac{1}{R}=4

Интервал сходимости:
|x-2|<4
x-2<4 ; x-2>-4
x<6 ; x>-2
x∈(-2;6)
Но мы не знаем сходиться ли ряд на концах отрезка.
Остаётся это проверить.
sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-2-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n*4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{n^2}
Используем признак Лейбница для знакочередующих рядов(рис 3).
Функция frac{1}{n^2} монотонна и:
lim_{ntoinfty}|frac{(-1)^n}{n^2}|=lim_{ntoinfty}frac{1}{n^2}=0
Следовательно ряд сходится.

sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(6-2)^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{4^n}{4^n*n^2}=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{1}{n^2}
Это обобщённый гармонический ряд(рис 2). α>1 - ряд сходиться.

Интервал сходимости степенного ряда sumlimits_{n=0}^{infty}frac{(x-2)^n}{4^n*n^2}:
xin [-2;6]
Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: 0tyryrtfuhtyryrjruty
Предмет: Геометрия, автор: natali280606
Предмет: Математика, автор: sergeysmotrov03