Question

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 30 градусов.Найдите плошадь основания пирамиды.

Answer 1

Sбок=1/2 Р *а   а -апофема

1) рассмотрим тр-к SCO-прямоугольный, угSCO=30*, SC=4cm => SO=2cm,

по тПифагора CO=2sqrt3

т.к. АН=СМ - высота, медиана, биссектирса АВС,  CO=2sqrt3 , то СМ= 3sqrt3 

2) рассмотрим АМС-прямоугольный, угАМС=90*,  угМСА=30* , СМ= 3sqrt3 ,

то АС=АВ=ВС= 3sqrt3 : sqrt3/2=6см  СН=1/2ВС=3см

3) проведем SH -высоту к ВС, это апофема пирамиды

рассмотрим СSH- прямоугольный SC=4cm, НС=3см

по тПифагора SH= sqrt7

4) Sбок=1/2 Р *а  

Sбок=1/2 3*6 * sqrt5= 9sqrt7 (во всех случаях sqrt-это корень квадратный)

Answer 2

В правильной треугольной пирамиде высота пирамиды опускается в центр описанной около основания окружности. 
Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен: 
R=a√3/3, где а - сторона тр-ка. Отсюда а=R√3.
В прямоугольном тр-ке, образованном высотой пирамиды, её боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности R=4·cos30=2√3 см.
а=2√3·√3=6 см.
Площадь правильного треугольника, лежащего в основании пирамиды равна:
S=a²√3/4=6²√3/4=9√3 см²