Question

Диагональ боковой развёртки цилиндра равна 24 см , угол, между диагоналями обращенные основанию 150градусов. Найдите объем цилиндра

Answer 1

$AB'=A'B=24, angle AOA'=150^circ.$

$triangle AOA': AO=OA'=frac{1}{2} AB'=12, \ AA'^2=AO^2+OA'^2-2AOcdot OA'cosangle AOA'=\=2AO^2-2AO^2cos150^circ=2cdot12^2(1+cos30^circ)=2cdot12^2(1+frac{sqrt{3}}{2})=\=12^2(2+sqrt{3}), \ AA'=12sqrt{2+sqrt{3}}; \ AA'=C=2pi R, \ R=frac{AA'}{2pi}=frac{12sqrt{2+sqrt{3}}}{2pi}=frac{6sqrt{2+sqrt{3}}}{pi};$

$triangle ABA': AB'^2=AA'^2+A'B'^2, A'B'^2= AB'^2-AA'^2, \ A'B'^2=24^2-(12sqrt{2+sqrt{3}})^2=4cdot12^2-12^2(2+sqrt{3})=12^2(2-sqrt{3}), \ A'B'=12sqrt{2-sqrt{3}}; \ A'B'=H, \ H=12sqrt{2-sqrt{3}};$

$V=pi R^2H=pi(frac{6sqrt{2+sqrt{3}}}{pi})^2cdot12sqrt{2-sqrt{3}}=\=picdotfrac{36(sqrt{2+sqrt{3}})^2}{pi^2}cdot12sqrt{2-sqrt{3}}=\=frac{1}{pi}cdot432sqrt{2+sqrt{3}}sqrt{(2+sqrt{3})(2-sqrt{3})}=frac{1}{pi}cdot432sqrt{2+sqrt{3}}$