Question

Найти проекцию точки А(5;6) на прямую, проходящую через точки В(1;4) и С(3;10).

Answer 1

Пусть P(x; y) - проекция А на ВС.
Тогда векторы $vec{PA}$ и $vec{BC}$ перпендикулярны, т.е. их скалярное произведение равно 0.
$vec{PA}={5-x; 6-y}; vec{BC}={2; 6}\ \ = textgreater vec{PA} cdot vec{BC} = 10-2x+36-6y=0 = textgreater x+3y=23.$
Т.к. P(x; y)∈BC, то векторы BP и ВС сонаправлены и их координаты пропорциональны, т.е. для $vec{BP}={x-1; y-4 }$ и $vec{BC}={2; 6}$ получим соотношение
$frac{x-1}{2} = frac{y-4}{6} = textgreater x-1= frac{y-4}{3} = textgreater 3x-y=-1.$
Решаем далее систему 
$left { x+3y=23} atop {3x-y=-1} right. textless = textgreater left { x+3y=23} atop {9x-3y=-3} right. textless = textgreater left { 10x=20} atop {y=3x+1} right. textless = textgreater left { x=2} atop {y=7} right.$
Значит, Р(2; 7) - искомая проекция точки А на прямую ВС.
Ответ: Р(2; 7).