Question

Построите график функции y= $-5 - frac{x-2}{x^2- 2x}$ и определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек. Решите, пожалуйста, подробно, с пошаговым объяснением.

Answer 1

$y=-5 - frac{x-2}{x^2- 2x}$

Находим область определения функции:
$x^2- 2x neq 0 \ x(x- 2) neq 0 \ Rightarrow x neq 0;x neq 2$
$D(y)=(-infty;0)cup(0;2)cup(2;+infty)$

Теперь можно выполнить упрощение:
$y=-5 - frac{x-2}{x^2- 2x} =-5 - frac{x-2}{x(x- 2)} =-5 - frac{1}{x}$

Данный график представляет собой гиперболу $y= frac{1}{x}$, отображенную симметрично оси абсцисс и сдвинутую на 5 единиц вниз. Помним про то, что функция не определена в точках 0 и 2.

Прямая $y=m$ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс, проходящую через точку (0; m).

Прямая $y=m$ не имеет общих точек с построенным графиком при $m=-5$ (асимптота гиперболы по построению, так как сдвиг проводился на 5 единиц вниз) и при $m=-5.5$ (именно это значение принимала бы функция $y=-5- frac{1}{x}$ в точке 2, но эта точка не принадлежит области ее определения).

Ответ: -5 и -5,5