Question

треба обчислити інтеграли

Answer 1

$1)quad int frac{x, dx}{sqrt{x^4+1}}=frac{1}{2}int frac{2x, dx}{sqrt{(x^2)^2+1}}=frac{1}{2}int frac{dt}{sqrt{t^2+1}}=\\=frac{1}{2}cdot ln|t+sqrt{t^2+1}+C=frac{1}{2}cdot ln|x^2+sqrt{x^4+1}|+C\\2)quad int arcsinx, dx=[u=arcsinx,; du=frac{dx}{sqrt{1-x^2}},; v=x]=\\=uv-int v, du=xcdot arcsinx-int frac{x, dx}{sqrt{1-x^2}}=\\=xcdot arcsinx-frac{1}{2}int frac{-d(1-x^2)}{sqrt{1-x^2}}=xcdot arcsinx+frac{1}{2}cdot 2sqrt{1-x^2}+C$

$3)quad int frac{x, dx}{x^2+4x+5} =int frac{x, dx}{(x+2)^2+1} =[t=x+2,; dt=dx]=\\=int frac{(t-2)dt}{t^2+1} =frac{1}{2}int frac{2t, dt}{t^2+1} -2int frac{dt}{t^2+1} =\\=frac{1}{2}cdot ln|t^2+1|-2arctgt+C=\\=frac{1}{2}cdot ln|x^2+4x+5|-2arctg(x+2)+C\\4)quad intlimits^{63}_0 {frac{x, dx}{sqrt[3]{x+1}}} , dx =[t^3=x+1,x=t^3-1,; dx=3t^2, dt,\\t_1=4,t_2=1, ]=int _1^4frac{t^3-1}{t}dt=int _1^4(t^2-frac{1}{t})dt=$

$=(frac{t^3}{3}-ln|t|)|_1^4=frac{64}{3}-ln4-(frac{1}{3}-ln1)=$

$=21-ln4$