Question

Основание пирамиды - равнобедр. треуг-к с боковой стороной - 8 и углом при основании 30°. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол 60°. Найти объём пирамиды.

Answer 1

дано: МАВС - пирамида, АВ=ВС=8, <BAC=<BCA=30°, <MCO=<MAO=<MBO=60°
найти :V
$V= frac{1}{3} * S_{osn} *H$
основание - равнобедренный ΔАВС, углы при основании 30°, => угол при вершине равнобедренного треугольника 120°
все боковые ребра образуют с плоскостью основания пирамиды углы 60°, => высота пирамиды проектируется в центр описанной около  треугольника окружности. (т.к. угол при вершине тупой, то центр окружности вне треугольника)
радиус описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле:
$R= frac{BC}{2*sin textless A}$
$R= frac{8}{2*sin30 ^{0} } = frac{8}{2* frac{1}{2} } =8$
прямоугольный треугольник:
катет ОС=R=8 - радиус окружности
катет МО=Н - высота пирамиды, найти
угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания пирамиды 60°
$tg textless MCO= frac{MO}{OC} , tg60 ^{0}= frac{MO}{8} , sqrt{3} = frac{MO}{8}$
MO=8√3. Н=8√3
$S_{osn} = frac{AB*BC*sin textless ABC}{2} , S_{osn} = frac{8*8*sin120 ^{0} }{2}= frac{64* frac{ 1 }{2} }{2} =16$
$V= frac{1}{3}*16*8 sqrt{3} = frac{128 sqrt{3} }{3}$