Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

x2−|x−5+a|=|x−a+5|−(5−a)2

имеет единственный корень.

Answer 1

Если х0-корень, то и -х0 тоже корень (можете проверить сами), тогда, чтобы ур-ие имело ед. корень, нужно чтобы х0=-х0; 2х0=0; х0=0
0^2-|0-5+a|=|0-a+5|-(5-a)^2
-|-(5-a)|=|5-a|-(5-a)^2
-|5-a|-|5-a|+(5-a)^2=0
(5-a)^2-2|5-a|=0
|5-a|^2-2|5-a|=0
|5-a|(|5-a|-2)=0
|5-a|=0; a=5
|5-a|=2; a=3 и a=7
Сделаем проверку на достаточность:
a=5:
x^2-|x|=|x|
|x|^2-2|x|=0
|x|(|x|-2)=0
|x|=0; x=0
|x|=2; x=+-2 что противоречит условию задачи.
a=3:
x^2-|x-2|=|x+2|-4
x^2-|x-2|-|x+2|+4=0
1) x>=2:
x^2-(x-2)-(x+2)+4=0
x^2-x+2-x-2+4=0
x^2-2x+4=0
D=4-16=-12<0 нет корней.
2) -2<x<2:
x^2-(2-x)-(x+2)+4=0
x^2-2+x-x-2+4=0
x^2=0; x=0
3) x<=-2:
x^2-(2-x)-(-2-x)+4=0
x^2-2+x+2+x+4=0
x^2+2x+4=0
D=4-16=-12<0 нет корней.
Значит, a=3 удовл. усл. задачи.
a=7:
x^2-|x+2|=|x-2|-4
x^2-|x+2|-|x-2|+4=0
x^2-|x-2|-|x+2|+4=0, аналогично как и при а=3, следовательно, a=7 нас тоже устраивает.
Ответ: a=3; a=7.