Question

Помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение.

y''+y'tgx=sin2x, y(0)=2, y'(0)=1/2

Answer 1

$y''+y'tgx=sin2x; ;; ; ; y(0)=2; ;; y'(0)=frac{1}{2}\\y'=p(x); ,; y''=p'\\p'+pcdot tgx=sun2x\\p=ucdot v; ; to ; ; u'v+uv'+uvcdot tgx=sin2x\\u'v+u(v'+vcdot tgx)=sin2x\\1); ; v'+vcdot tgx=0\\frac{dv}{dx}=-vcdot tgx\\int frac{dv}{v}=-int tgx, dx; ; to ; ; lnv=ln(cosx); ,; v=cosx$

$2); ; u'cdot v=sin2x; ,; ; frac{du}{dx}cdot cosx=sin2x\\ducdot cosx=2sinxcdot cosxcdot dx; |:cosxne 0\\int du=int 2sinx, dx\\u=-2cosx+C_1\\3); ; p=y'=cosx(-2cosx+C_1)=-2cos^2x+C_1cosx\\y'(0)=frac{1}{2}=-2cdot 1+C_1cdot 1; ,; ; C_1=frac{5}{2}\\frac{dy}{dx}=-2cos^2x+C_1cosx\\int dy=int (-2cdot frac{1+cos2x}{2}+C_1cosx)dx\\y=-x-frac{1}{2}sin2x+C_1sinx+C_2\\y(0)=2=C_1cdot 0+C_2; ,; ; C_2=2\\4); ; y=-x-frac{1}{2}sin2x+frac{5}{2}sinx+2$