Question

Объясните как можно яснее пожалуйста.
Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20см.

Answer 1

радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами a и b.
$r= frac{ sqrt{a^2+b^2} }{2}$
или (2r)²=a²+b²
у нас r=20
40²=a²+b²
1600=a²+b²
b²=1600-a²
$b= sqrt{1600-a^2}$
площадь сечения балки
$S=ab=asqrt{1600-a^2}=sqrt{1600a^2-a^4}=(1600a^2-a^4)^{1/2}$
надо найти такое а, при котором S максимальна. То есть надо найти максимум S
$S'= frac{1}{2} (1600a^2-a^4)^{-1/2}(3200a-4a^3)= frac{3200a-4a^3}{2 sqrt{1600a^2-a^4} }=frac{1600a-2a^3}{sqrt{1600a^2-a^4} } = \ =frac{1600-2a^2}{sqrt{1600-a^2} }=0$
1600-2a²=0
2a²=1600
a²=800
a=√800=20√2
$b= sqrt{1600-(20 sqrt{2} )^2}= sqrt{1600-800} = sqrt{800} =20 sqrt{2}$
балка должна быть квадратная, со стороной 20√2, тогда она будет иметь максимальную площадь сечения