Question

У рівнобедренному трикутнику АВС(АВ=ВС) проведено бісектрису АМ. На промені СА відкладено відрізок СN, рівний відрізку ВМ. Доведіть, що точки А, В, М, N лежать на одному колі.

Answer 1

По свойству биссектрисы AC/BC=AC/AB=MC/BM=MC/CN, т.е. треугольники ABC и MNC подобны по сторонам и углу С между ними, а значит ∠MNC=∠ABM. Таким образом,
∠ANM+∠ABM=(180°-∠MNC)+∠ABM=180°, откуда ABMN - вписанный 4-угольник.