Question

log0,5(4+x)/(x-1)>=2

Answer 1

$log_{0,5} frac{4+x}{x-1} geq 2 2= log_{0,5} 0,5^{2} = log_{0,5} 0,25$
$log_{0,5} frac{4+x}{x-1} geq log_{0,5} 0,25$
основание логарифма а=0,5.  0<0,5<1
 знак неравенства меняем:
$left { {{ frac{4+x}{x-1} textgreater 0} atop { frac{4+x}{x-1} leq 0,25 }} right. left { {{ frac{4+x}{x-1} textgreater 0} atop { frac{4+x}{x-1}-0,25 leq 0 }} right.$
$1. frac{4+x}{x-1} textgreater 0$,метод интервалов:
$left { {{x+4=0} atop {x-1 neq 0}} right. left { {{x=-4} atop {x neq 1}} right.$
      +              -                     +
-----------(-4)-----------(1)----------------->x
x∈(-4;∞)∪(1;∞)

$2. frac{4+x}{x-1}-0,25 leq 0.$
$frac{4+x-0,25x+0,25}{x-1} leq 0, frac{0,75x+4,25}{x-1} leq 0$
метод интервалов:
$left { {{0,75x+4,25=0} atop {x-1 neq 0}} right. left { {{x= -frac{17}{3} } atop {x neq 1}} right.$
     +                       -                   +
----------[-17/3]-------------(1)--------------->x

x∈[-17/3;1)
                  / / / / / / / / / /  / / / / /  / 
------------[-17/3]------(-4)-----------(1)------------------>x
                             

x∈[-17/3;-4)