Question

Андрей задумал натуральное число такое что его запись в шестеричной системе счисления имеет ровно четыре значащих разряда. Он оставил своей сестре Оле 3 подсказки:
1.Две первые цифры записи этого числа в шестеричной системе являются одинаковыми между собой и две последние цифры также одинаковые между собой.
2.Две первые цифры отличны от последних двух цифр.
3.Число является полным квадратом то есть оно является квадратом некоторого целого числа.
Помогите девочке определить задуманное ее братом числом в шестеричной системе счисления без каких-либо знаков препинания,например, 1234

Answer 1

Пусть первые две цифры равны a, вторые две равны b (1 ≤ a ≤ 5 и 0 ≤ b ≤ 5). Тогда искомое число - $aabb_{6}$. Переведем его в десятичную систему счисления - $aabb_{6} = 6^{3} * a + 6^{2} * a + 6 * b + b = 6^{2} * a * (6 + 1) + b * (6 + 1)$
$= 7 * (6^{2} * a + b)$
Если число - квадрат, то, так как $7 * (6^{2} * a + b)$ делится на 7, то оно делится на $7^{2}$ ⇒ $6^{2} * a + b$ делится на 7.
Пусть a = 1. Тогда b тоже 1. a не равно b ⇒ противоречие.
Пусть a = 2. Тогда b = 3. Проверяем: $7 * (36 * 2^{2} + 3) = 1029$. 1029 - не квадрат ⇒ не подходит.
Пусть a = 3. Тогда b = 5. Проверяем: $7 * (36 * 3^{2} + 5) = 2303$. 2303 - не квадрат ⇒ не подходит.
Пусть a = 4. Тогда b = 5. Проверяем: $7 * (36 * 4^{2} + 5) = 4067$. 4067 - не квадрат ⇒ не подходит.
Пусть a = 5. Тогда b = 3. Проверяем: $7 * (36 * 5^{2} + 3) = 6321$. 6321 - не квадрат ⇒ не подходит.
Таким образом, получаем, что нет ни одного числа, которое удовлетворяет всем подсказкам.