Question

К окружнности, вписаной в триугольник, проведено три касательные, паралельные сторонам триугольника. Эти касательные отсекают от данного триугольника три триугольника, радиусы описаных окружностей которых равняються Р1, Р2, Р3. Найти радиус описаной окружности данного триугольника.

Answer 1

Интересно, где Вы учитесь, если такие задачи задают. Вот решение этой задачи без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий)
Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3;
Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции
ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других.
то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3;
Остается подставить это в известные соотношения
1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3;
и
4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности.
то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3;
это все.
Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях.
К примеру, площадь S исходного треугольника равна
S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда
1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r;
Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.

Answer 2

Ну, вторая формула тоже доказывается "в лоб" S/(p - a) + S/(p - b) + S/(p - c) - S/p = S(p(p-b)(p-c) + p(p-a)(p-c) + p(p-a)(p-c) - (p-a)(p-b)(p-c))/S^2 = (после простого раскрытия скобок) = (2p^2 - (a + b + c)p + abc)/S = abc/S = 4R;

Answer 3

(2p^3 - (a + b + c)p^2 + abc)/S = abc/S = 4R; сори :)

Answer 4

ну, это все равно сокращается :)