Question

На сторонах AB,‍ BC,‍ CD‍ и AD‍ параллелограмма ABCD‍ отмечены точки K,‍ L,‍ M‍ и N‍ соответственно, причём ‍
‍ AK:‍ KB = ‍‍BL:LC‍ = ‍CM:MD‍‍ = ‍DN:NA‍‍.‍
а) Докажите, что четырёхугольник KLMN —‍ параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.‍
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN‍ и ABCD,‍ если известно, что AK:KB=2:5

Answer 1

а) пусть AK : KB = 1 : n
AK = x, BL = y,
тк AB = CD и BC = AD
имеем:
cm = ak = x
kb = md = nx
nd = bl = y
lc = an = ny
ΔAKN = ΔLME по 1 признаку (ak = cm, an = lc, ∠kan = ∠lcm)
=> kn = lm
аналогично получаем
kl = nm
Таким образом, в 4-хугольнике klmn противоположные стороны равны => этот 4-хугольник - параллелограмм
пусть km ∩ ln = O
Δaon = Δloc по 2 признаку (an = lc = ny, ∠oan = ∠ocl и ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC) => ∠aon = ∠loc => ∠aoc = 180 => с лежит на прямой ao
из равенства треугольников также следует, что ao = oc => точка o - точка пересечения диагоналей парал-ма abcd, что и требовалось доказать
б) пусть ak = cm = 2x
kb = md = 5x
bl = nd = 2y
an = lc = 5y
заметим, что sin(bad) = sin(180 - bad) = sin(abc) = sinA
Sabcd = 7x * 7y * sinA = 49xysinA
Sklmn = Sabcd - 2(Sakn + Sbkl) = 49xysinA - 2(10xysinA / 2 + 10xysinA / 2) = 49xysinA - 20xysinA = 29xysinA
Sklmn / Sabcd = 29xysinA / (49xysinA) = 29 / 49
Ответ: а) доказано; б) 29 / 49.

Answer 2

P.S. небольшая поправка: равенство треугольников aon и loc доказывается по первому признаку (an = lc = ny, ∠olc = ∠ona как внутренние накрест лежащие при AD || BC, lo = on, тк o - точка пересечения диагоналей парал-ма klmn), так как мы не можем использовать равенство углов oan и ocl, как внутренних накрест лежащих, потому что это основано на том, что c лежит на ao, что необходимо доказать