Question

докажите что четырехугольник АВСД с вершинами в точках А(1,3,2),В(0;2;4),С(1;1;4),Д(2;2;2)есть параллелограм .Вычислите cos A

Answer 1

Найдем вектора AB, BC, CD и AD и их модули:

AB = (0 - 1; 2 - 3; 4 - 2) = (-1; -1; 2)

BC = (1 - 0; 1 - 2; 4 - 4) = (1; -1; 0)

CD = (2 - 1; 2 - 1; 2 - 4) = (1; 1; -2)

AD = (2 - 1; 2 - 3; 2 - 2) = (1; -1; 0)

$|AB|=sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=sqrt{6}\|BC|=sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=sqrt{2}\|CD|=sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=sqrt{6}\|AD|=sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=sqrt{2}$

|AB| = |CD| и |BC| = |AD| ⇒ ABCD - параллелограмм

Косинус угла A найдем из формулы для скалярного произведения векторов AB и AD:

$(vec{AB},vec{AD})=|AB|*|AD|*cos{widehat{(vec{AB},vec{AD}})}$, откуда:

$cos{widehat{(vec{AB},vec{AD}})}=frac{(vec{AB},vec{AD})}{|AB|*|AD|}=frac{-1*1+(-1)*(-1)+2*0}{sqrt{6}sqrt{2}}=0$