Question

f(x)=3x²-x³ дослідити функцію

Answer 1

$y=3x^2-x^3$

1.
$D(f)=mathbb R$ - нет вертикальных асимптот

$f(-x)=3(-x)^2-(-x)^3=3x^2+x^3 \\ f(-x)neq -f(x); f(-x)neq f(x)$

Функция ни четная, ни нечетная

2.
$k= lim_{xto pminfty} frac{f(x)}{x}=lim_{xto pminfty} frac{3x^2-x^3}{x}=lim_{xto pminfty} frac{3x^2}{x}- frac{x^3}{x}=\\ =lim_{xto pminfty}(3x-x^2)=-infty$
нет наклонных асимптот

$k=lim_{xto pminfty}(3x^2-x^3)=mpinfty$
идем вправо - уходим далеко вниз
идем влево - уходим далеко вверх

$E(f)=mathbb R$

3.
$y=f(0)=3cdot0^2-0^3=0\\ 3x^2-x^3=0\ x^2(3-x)=0\ x^2=0\ x=0\\ 3-x=0\ x=3$

Точки пересечения с осями

4.
$f(x)=3x^2-x^3\ f'(x)=(3x^2-x^3)'=6x-3x^2$

$6x-3x^2=0\ 3x(2-x)=0\ 3x=0\ x=0\\ 2-x=0\ x=2$

__-__0__+__

$(-infty;0)bigcup(2;+infty)$ убывает
$(0;2)$ возрастает

$f(0)=3cdot0^2-0^3=0$ точка минимума
$f(2)=3cdot2^2-2^3=4$ точка максимума

5.
$f''(x)=(6x-3x^2)'=6-6x\\ 6-6x=0\ x=1$

__+__1__-__

$(-infty;1)$ вогнутая
$(1;+infty)$ выпуклая

$f(1)=3cdot1^2-1^3=2$ точка перегиба

График прилагается