Question

Срочно нужно решить логарифмические неравенства!

Answer 1

$log_2(1-3x)leqslant4\ log_2(1-3x)leqslantlog_216\ 1-3xleqslant16\ -3xleqslant15\ xgeqslant-5$

ОДЗ:
$1-3x textgreater 0\ -3x textgreater -1\ x textless frac{1}{3}$

Ответ: $xin[-5; frac{1}{3})Longrightarrow -5+(-4) +(-3)+(-2)+(-1)+0=-15$


$log_{ frac{1}{7}}(2x+3) textless -log_7(3x-2)$

ОДЗ:

$left { {{2x+3 textgreater 0} atop {3x-2 textgreater 0}} right. \\ left { {{2x textgreater -3} atop {3x textgreater 2}} right.\\ left { {{x textgreater -frac{3}{2} } atop {x textgreater frac{2}{3} }} right.\\xin(frac{2}{3};+infty)$

$-log_7(2x+3) textless -log_7(3x-2) |cdot(-1)\ log_7(2x+3) textgreater log_7(3x-2)$
$Downarrow$
$7 textgreater 1\ 2x+3 textgreater 3x-2\ -x textgreater -2-3\ x textless 5\\ xin( frac{2}{3};5)Longrightarrow x=1,2,3,4$

Ответ: 4 целых решения


$log^2_2x-log_2xleqslant6$

ОДЗ:
$x textgreater 0$

$log_2x=t Longrightarrow x=2^t$ замена, где $tin(-infty;+infty)$

$t^2-t-6leqslant0\ D=1+24=25; sqrt D=5\\ t_{1/2}= frac{1pm5}{2}\\ x_1=-2\ x_2=3$

__+__-2__-__3__+__

$boxed{leqslant}$


$tin[-2;3]\\ -2leqslantlog_2xleqslant3\\ log_2 frac{1}{4}leqslantlog_2xleqslantlog_28$
$Downarrow$

$left { frac{1}{4}leqslant xleqslant8 } atop {x textgreater 0}} right.$

 $xin[ frac{1}{4};8]$

$x=1,2,3,4,5,6,7,8$

Ответ: 8 целых решений