Question

найдите значение дроби х^2-5xy+y^2/x+y+2 при х= 3 +корень из 5 и у= 3 -корень из 5

Answer 1

Числитель делим на y^2, будет
(x/y)^2 - 5*(x/y) + 1
Найдем
$frac{x}{y} = frac{3+ sqrt{5} }{3- sqrt{5} } = frac{(3+ sqrt{5})^2}{(3+ sqrt{5})(3- sqrt{5})} = frac{9+6 sqrt{5} +5}{9-5}= frac{14+6 sqrt{5} }{4} = frac{7+3 sqrt{5} }{2}$
Тогда числитель равен
$(frac{7+3 sqrt{5} }{2})^2-5*frac{7+3 sqrt{5} }{2}+1= frac{49+42 sqrt{5}+45}{4} - frac{35+15 sqrt{5} }{2} +1=$
$= frac{94+42 sqrt{5} }{4}- frac{35+15 sqrt{5} }{2} +1= frac{47+21 sqrt{5}-35-15 sqrt{5}+2 }{2}= frac{14+6 sqrt{5} }{2} = 7+3 sqrt{5}$

Знаменатель тоже делим на y^2, будет
(x+y+2)/y^2
Найдем
$y^2=(3- sqrt{5} )^2=9-6 sqrt{5}+5=14-6 sqrt{5}$
Тогда знаменатель равен
$frac{x+y+2}{y^2} = frac{3+ sqrt{5}+3- sqrt{5} +2 }{14-6 sqrt{5} }= frac{8}{14-6 sqrt{5}} = frac{4}{7-3 sqrt{5} }$
А вся дробь равна
$frac{7+3 sqrt{5}}{ frac{4}{7-3 sqrt{5}} } = frac{(7+3 sqrt{5})(7-3 sqrt{5})}{4} = frac{49-9*5}{4}= frac{49-45}{4} =1$