Предмет: Математика,
автор: timka1998072
Дано комплексное число z . Требуется:
1) Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2) Выразить число z=1-i в тригонометрической форме.
3) Найти z^3 , ответ записать в тригонометрической и алгебраической формах.
z =(2корня из 2)/1+i
Ответы
Автор ответа:
0
1) Произвольное комплексное число z в алгебраической форме:
z = a + b*i
Оно же в тригонометрической форме:
z = r*(cos Ф + i*sin Ф)
Здесь r = √(a^2 + b^2); Ф = arctg(b/a)
2) z = 1 - i
a = 1; b = -1; r = √(1^2 + (-1)^2) = √2; Ф = arctg(-1/1) = -pi/4
z = √2*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))
3)![z= frac{2 sqrt{2} }{1+i} z= frac{2 sqrt{2} }{1+i}](https://tex.z-dn.net/?f=z%3D+frac%7B2+sqrt%7B2%7D+%7D%7B1%2Bi%7D+)
Сначала представим z в обычном алгебраическом виде:
Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное.
![z= frac{2 sqrt{2}(1-i) }{(1+i)(1-i)} = frac{2 sqrt{2}(1-i)}{1-i^2} = frac{2 sqrt{2}(1-i)}{2} =sqrt{2}(1-i)=sqrt{2}-isqrt{2} z= frac{2 sqrt{2}(1-i) }{(1+i)(1-i)} = frac{2 sqrt{2}(1-i)}{1-i^2} = frac{2 sqrt{2}(1-i)}{2} =sqrt{2}(1-i)=sqrt{2}-isqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=z%3D+frac%7B2+sqrt%7B2%7D%281-i%29+%7D%7B%281%2Bi%29%281-i%29%7D+%3D+frac%7B2+sqrt%7B2%7D%281-i%29%7D%7B1-i%5E2%7D+%3D+frac%7B2+sqrt%7B2%7D%281-i%29%7D%7B2%7D+%3Dsqrt%7B2%7D%281-i%29%3Dsqrt%7B2%7D-isqrt%7B2%7D)
Теперь переведем его в тригонометрическую форму
![z=sqrt{2}-isqrt{2}=2( frac{1}{ sqrt{2} } -i* frac{1}{ sqrt{2} } )=2(cos(- frac{ pi }{4})+i*sin(- frac{ pi }{4} ) ) z=sqrt{2}-isqrt{2}=2( frac{1}{ sqrt{2} } -i* frac{1}{ sqrt{2} } )=2(cos(- frac{ pi }{4})+i*sin(- frac{ pi }{4} ) )](https://tex.z-dn.net/?f=z%3Dsqrt%7B2%7D-isqrt%7B2%7D%3D2%28+frac%7B1%7D%7B+sqrt%7B2%7D+%7D+-i%2A+frac%7B1%7D%7B+sqrt%7B2%7D+%7D+%29%3D2%28cos%28-+frac%7B+pi+%7D%7B4%7D%29%2Bi%2Asin%28-+frac%7B+pi+%7D%7B4%7D+%29+%29)
Здесь нам помог номер 2), в котором мы уже представляли 1 - i.
По формуле Муавра для степени и корня комплексного числа:
z^n = r^n*(cos(n*Ф) + i*sin(n*Ф))
![z^3=2^3(cos(- frac{3 pi }{4} )+i*sin(- frac{3 pi }{4} ))=8(- frac{ sqrt{2} }{2} -i frac{ sqrt{2} }{2} )=-4 sqrt{2}-4i sqrt{2} z^3=2^3(cos(- frac{3 pi }{4} )+i*sin(- frac{3 pi }{4} ))=8(- frac{ sqrt{2} }{2} -i frac{ sqrt{2} }{2} )=-4 sqrt{2}-4i sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=z%5E3%3D2%5E3%28cos%28-+frac%7B3+pi+%7D%7B4%7D+%29%2Bi%2Asin%28-+frac%7B3+pi+%7D%7B4%7D+%29%29%3D8%28-+frac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+-i+frac%7B+sqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%29%3D-4+sqrt%7B2%7D-4i+sqrt%7B2%7D++)
z = a + b*i
Оно же в тригонометрической форме:
z = r*(cos Ф + i*sin Ф)
Здесь r = √(a^2 + b^2); Ф = arctg(b/a)
2) z = 1 - i
a = 1; b = -1; r = √(1^2 + (-1)^2) = √2; Ф = arctg(-1/1) = -pi/4
z = √2*(cos(-pi/4) + i*sin(-pi/4))
3)
Сначала представим z в обычном алгебраическом виде:
Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное.
Теперь переведем его в тригонометрическую форму
Здесь нам помог номер 2), в котором мы уже представляли 1 - i.
По формуле Муавра для степени и корня комплексного числа:
z^n = r^n*(cos(n*Ф) + i*sin(n*Ф))
Похожие вопросы
Предмет: ОБЖ,
автор: tolmacevvlab765
Предмет: Русский язык,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: snezhanna0782
Предмет: Физика,
автор: Аноним