Question

Помогите найти площадь криволинейной фигуры, ограниченной параболой и кривой. y= -x^2+4x-1, y= -x-1. Надо подробное решение, график не надо, сама построю. Заранее спасибо)

Answer 1

Определённому интегралу геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.
Для начала лучше начертить чертёж, по нему можно найти точки пересечения линий. Хотя можно найти их и по другому. Решаем уравнение:
-x²+4x-1=-x-1
-x²+4x-1+x+1=0
-x²+5x=0
x(5-x)=0
x=0   5-x=0
         x=5
Нашли верхний 5 и нижний 0 пределы интегрирования.
Если на отрезке [a;b] некоторая функция f(x) больше или равна некоторой функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми х=а и x=b, можно найти по формуле:
$S= intlimits^a_b {(f(x)-g(x))} , dx$
В нашем примере парабола расположена выше прямой -x-1
$S= intlimits^5_0 {(-x^2+4x-1-(-x-1))} , dx= intlimits^5_0 {(-x^2+5x)} , dx=$
$=- frac{x^3}{3}+ frac{5x^2}{2}=- frac{5^3}{3}+ frac{5*5^2}{2} +0-0=- frac{125}{3}+ frac{125}{2}= frac{-250+375}{6}=20 frac{5}{6}$

Ответ: S=20(5/6) ед²