Question

На стороне AD треугольника AMD взяты такие точки B и С, что угол AMC = 90, угол BMD = 90, BMC = alfa. Найдите площадь треугольника BMC, если площади треугольников AMC и BMD равны p и q.

Answer 1

Обозначим искомую площадь как S
Треугольники AMC и BMC прямоугольные по условию, их площади выражаются формулами:
$p=(1/2)*AM*MC$
$q=(1/2)*BM*MD$
Перемножим  p и q:
$pq=(1/2)*BM*MC*(1/2)*AM*MD$  (1)
Вспомним формулу площади треугольника (любого):
$S_l=(1/2)*a*b*Sina$
Тогда искомая площадь равна:
$S=(1/2)*BM*MC*Sina$
Выразим $(1/2)*BM*MC=S/Sina$
Из площади треугольника AMD выразим 
$(1/2)*AM*MD=S_{AMD}/Sin(180-a)= frac{p+q-S}{Sina}$

Подставим полученные выражения в (1):
$pq=frac{S}{Sina}*frac{p+q-S}{Sina}$
Отсюда находим S:
$S= frac{p+qpm sqrt{p^2-4*Sin^2a*pq+2pq+q^2} }{2}$