Question

Помогите решить неравенство ,пожалуйста
log₃$frac{1}{x}$+log$frac{1}{x}$ 3≤2,5

Answer 1

$log_{3} frac{1}{x} + log_{ frac{1}{x} } 3 leq 2,5$
ОДЗ:
$left { {{ frac{1}{x} textgreater 0 } atop { frac{1}{x} neq 1}} right.$
x∈(0;1)∪(1;∞)

$log_{3} frac{1}{x} + frac{ log_{3}3 }{ log_{3} frac{1}{x} } leq 2,5$

$log_{3} frac{1}{x} =t, t textgreater 0$
t²-2,5t+1≤0

t²-2,5t+1=0. t₁=2. t₂=1/2
     +                   -               +
-----------[1/2]----------[2]------------->t

t∈[1/2;2]

обратная замена:
$t geq frac{1}{2} log_{3} frac{1}{x} geq frac{1}{2}$
$frac{1}{2} = log_{3} ^{ frac{1}{2} } log_{3} frac{1}{x} geq log_{3} sqrt{3} .$
$frac{1}{x} geq sqrt{3} x leq frac{ sqrt{3} }{3}$

$log_{3} frac{1}{x} leq 2$

$frac{1}{x} leq 9$
$x geq frac{1}{9}$

x∈[1/9;√3/3]