Question

Задача,решите с пояснениями:Найдите углы,периметр и площадь треугольника,вершинами которого являются точки A(1;-1;3) ,B(3;-1;1), C(-1;1;3).Чисто ответы мне не нужны,у меня они есть-нужно решение и пояснение,Вам разве не нужно столько пкт?)

Answer 1

НАйдем длины сторон поформуле $AB=sqrt{(x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

$AB=sqrt{(3-1)^2+(-1+1)^2+(1-3)^2}=sqrt{4+4}=2sqrt{2}$

$BC=sqrt{(-1-3)^2+(1+1)^2+(3-1)^2}=sqrt{16+4+4}=2sqrt{6}$

$AC=sqrt{(-1-1)^2+(1+1)^2+(3-3)^2}=sqrt{4+4}=2sqrt{2}$

Треугольник равнобедренный с основанием ВС

Найдем угол А по теореме косинусов

$cosA=frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2*AB*AC}$

$cosA=frac{(2sqrt{2})^2+(2sqrt{2})^2-(2sqrt{6})^2}{2*2sqrt{2}*2sqrt{2}}=frac{8+8-24}{16}=-frac{8}{16}=-frac{1}{2}$   Угол А=120°

<B=<C=(180°-120°)/2=30°

 

Найдем периметр

$P<var>=2sqrt{6}+2sqrt{2}+2sqrt{2}=2sqrt{6}+4sqrt{2}</var>$

 

Найдем площадь треугольника, но сначала найдем высоту.

Так как углол при основании равен 30°, то высота будет равна 1/2*АВ

$h<var>=frac{1}{2}*2sqrt{2}=sqrt{2}</var>$

$S<var>=frac{1}{2}*BC*h</var>$

$S<var>=frac{1}{2}*2sqrt{6}*sqrt{2}=3sqrt{3}</var>$

 

Answer 2

Найдём расстояния между точками, это и будут стороны треугольника.

$A(1;-1;3),B(3;-1;1)\q(A;B)=sqrt{(1-3)^2+(-1+1)^2+(3-1)^2}=2sqrt{2}\\A(1;-1;3),C(-1;1;3)\q(A;C)=sqrt{(1+1)^2+(-1-1)^2+(3-3)^2}=2sqrt{2}\\B(3;-1;1),C(-1;1;3)\q(B;C)=sqrt{(3+1)^2+(-1-1)^2+(1-3)^2}=2sqrt{6}$

Три точки всегда лежат только в одной плоскости, задача свелась к обычной планиметрии, мы знаем три стороны треугольника. Надо найти углы, периметр и площадь.

$P_{ABC}=2sqrt{2}+2sqrt{2}+2sqrt{6}=2sqrt{2}cdot (2+sqrt{3})$

H∈BC; AH⊥BC; ΔABC - равнобедренный, поэтому высота будет и медианой, и биссектрисой.

$AH=sqrt{(2sqrt{2})^2-(frac{2sqrt{6}}{2})^2}=sqrt{2}\S_{ABC}=frac{1}{2}cdot AHcdot BC=frac{sqrt2cdot 2sqrt6}{2}=2sqrt{3}$

В прямоугольном ΔAHC, катет AH в два раза меньше гипотенузы AC, поэтому угол лежащий напротив катета AH равен 30°, то есть ∠С = 30°.

∠B = ∠C = 30°. ∠A = 180° - 30° - 30° = 120°.

Ответ: ∠A = 120°; ∠B = 30°; ∠C = 30°;

Периметр: 2√2 · (2+√3);

Площадь: 2√3.