Question

ЕГЭ. Решите неравенство.

Answer 1

Могу предложить следующее решение, правда концовка получилась на интуитивном уровне. Так что объяснить её не могу. Итак приступим.
$frac{log_{x}2x^{-1}*log_{x}2x^2}{log_{2x}x*log_{2x^{-2} }x } textless 40$
Используя свойства логарифмов 
$log_{a}b= frac{1}{log_{b}a }$
Преобразуем неравенство к виду
$log_{x}2x^{-1}*log_{x}2x*log_{x}2x^2 *log_{x}2x^{-2} textless 40$
Далее используем свойства логарифмов такие как:
логарифм произведения равен сумме логарифмов 
$log_{a}(x*y)=log_{a}x+log_{a}y$
и логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа
$log_{a}N^k=k*log_{a}N$
И преобразуем к виду:
$(log_{x}2-log_{x}x)(log_{x}2+log_{x}x)(log_{x}2+2log_{x}x)(log_{x}2-2log_{x}x) textless 40$
$(log_{x}2-1)(log_{x}2-1)(log_{x}2+2)(log_{x}2-2) textless 40$
Введём замену переменной
logₓ2=t
$(t-1)(t+1)(t+2)(t-2) textless 40$
$(t^{2}-1)(t^2-4) textless 40$
$t^4-4t^2-t^2+4-40 textless 0$
$t^4-5t^2-36 textless 0$
Опять вводим замену переменной
t²=k
k²-5k-36<0
D=25+4*36=25+144=169
k₁=(5-13)/2<-4   k₂=(5+13)/2<9
Проводим обратную замену
t²<-4 не является решением
t²<9   t<3   t>-3
И снова замена переменной
logₓ2<3              logₓ2>-3
x³>2                   x⁻³<2
x>∛2                  1/x³<2
                           0<x<1/∛2
Как-то так.