Question

исследование функции y=(x^2-1)/x

Answer 1

1)
$D(f)=(-infty,0)cup(0,infty)$
$E(f)=(-infty,infty)$
Функция нечетная, так как:
$f(-x)=-f(x)$
$frac{x^2-1}{-x}=frac{1-x^2}{x}$

График- Гипербола.

2) 
Функция имеет 2 асимптоты, одна вертикальная другая наклонная.

Вертикальная:
$x=0$
Так как :
$lim_{x to 0^-} frac{x^2-1}{x}= +infty$
$lim_{x to 0^+} frac{x^2-1}{x}= -infty$

Наклонную найдем по 2 этапам:

1.
Найдем угловой коэффициент, с помощью предела:
$lim_{x to pm infty}frac{f(x)}{x}=k$
$lim_{x to pm infty} frac{x^2-1}{x^2} =lim_{x to pm infty} frac{x^2}{x^2}= 1$

2.
$lim_{x to pm infty}(f(x)-kx)=b$
$lim_{x to pm infty}( frac{x^2-1}{x} -x)=lim_{x to pm infty} - frac{1}{x}=0$

Следовательно:
$y=x$ является наклонной асимптотой.

3)
Нули:
$frac{x^2-1}{x}=0$
$x neq 0$
$x=pm 1$

4)
Промежутки знакопостоянства:
$frac{x^2-1}{x} textgreater 0$
$(-infty,-1)=-$ - функция принимает отрицательные значения.
$(-1,0)=+$- функция принимает положительные значения.
$(0,1)=-$-функция принимает отрицательные значения.
$(1,infty)=+$-функция принимает положительные значения.

Т.е:
$xin (-infty,-1)cup(0,1) rightarrow f(x) textless 0$
$xin (-1,0)cup(1,+infty)rightarrow f(x) textgreater 0$

Функция является возрастающей. И не имеет экстремумов.