Question

знайти площу фігур обмежаною лвніями
2 завдання

Answer 1

3) Находим крайние точки заданной фигуры. Для этого приравниваем уравнения линий:
2х² = 2х,
х*х = х.
Отсюда получаем 2 значения:
х = 0,
х = 1.
Линия у = 2х проходит выше линии у= 2х² в пределах х=0,,,1.
Поэтому площадь равна интегралу выражения 2х - 2х² в найденных пределах.
$S= intlimits^1_0 {(2x-2x^2)} , dx = frac{2x^2}{2} - frac{2x^3}{3} |_0^1=1- frac{2*1}{3} = frac{1}{3.}$

7) Задача аналогична.
х³ = х².
х = 0,
х = 1.
$S= intlimits^1_0 {(x^2-x^3)} , dx = frac{x^3}{3} - frac{x^4}{4} |_0^1= frac{1}{3}- frac{1}{4}= frac{1}{12} .$

8) x² - 4 = 4 - x²,
   2x² - 8 = 0.
   2(x² - 4) = 0.
   2(x -2)(x+2) = 0.
    x = -2,
    x = 2.
$S= intlimits^2_{-2} {(4-x^2-x^2+4)} , dx = intlimits^2_{-2} {(8-2x^2)x} , dx =8x- frac{2x^3}{3}|_{-2}^2 =$
$8*2- frac{2*8}{3}-(8*(-2)- frac{2*(-8)}{3})=16- frac{16}{3}+16- frac{16}{3}=32- frac{32}{3}= frac{64}{3.}$