Question

задание прикреплено)) нужно решить № 32 и 33

Answer 1

1)  ∫cosxdx=sinx( c подстановкой от π/6 до 5π/6)=sin5π/6-sinπ/6=1/2-1/2=0

2) ∫sinxdx=-cosx(с подст. от π/3 до 2π/3)= -cos2π/3+cosπ/3=

= -cos(π-π/3)+cosπ/3=cosπ/3+cosπ/3=2*1/2=1

3) ∫¹(5x⁴+6x²)dx=(x⁵+2x³) |¹=(1+2)-[ (-1)⁵+2(-1)³] = 3-[-1-2]=6 (подстановка от (-1) до 1)

4)∫¹(4x³+6x)dx=(x⁴+3x²)|¹=1+3-((-2)⁴+3*(-2)²)=4-[16+12]=-24 (подстан. от (-2)  до 1)

5)∫₀sin²x/2dx=1/2*∫₀(1-cosx)dx=1/2(x-sinx)|₀=1/2(π/2-sinπ/2)=1/2*π/2=π/4 (подстановка от 0 до π/2, sinπ/2=0

6)Преобразуем x³+x²+x+1=x²(x+1)+(x+1)=(x+1)(x²+1) Сократятся (х+1), останется (х²+1).  

   ∫₀¹(x²+1)dx=(x³/3+x)|₀¹=1/3+1=4/3

7) x²-5x+6=(x-2)(x-3)  Сократятся (х-2), останется (х-3)

    ∫₃⁵(x-3)dx=(x²/2-3x)|₃⁵=(25/2-15)-(9/2-9)=-2,5-(-4,5)=2

8)∫cos²x/4dx=1/2*∫(1+cosx/2)dx=1/2*(x+2sinx/2) [с подстан. от π/2 до π/2]=0, Если пределы одинаковые, то определённый интеграл =0. Можно бвло не находить первообразную( не буду её стирать, чтоб вы увидели, какая первообразная)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

$intlimits^frac{5pi}{6}_frac{pi}{6} {cosx} , dx=sinfrac{5pi}{6}-sinfrac{pi}{6}=sin150^o-sin30^o=\ =sin(180^o-30^o)-sin30^o=sin30^o-sin30^o=0\ \ intlimits^frac{2pi}{3}_frac{pi}{3} {sinx} , dx=-(cosfrac{2pi}{3}-cosfrac{pi}{3})=-(cos120^o-cos60^o)=\ =-(cos(90^o+30^o)-cos60^o)=-(-sin30^o-cos60^o)=\ =sin30^o+cos60^o=frac{1}{2}+frac{1}{2}=1$

 

$intlimits^1_{-1} {(5x^4+6x^2)} , dx=intlimits^1_{-1} {5x^4} , dx+intlimits^1_{-1} {6x^2} , dx=\ =5*frac{x^5}{5}|^1_{-1}+6*frac{x^3}{3}|^1_{-1}=x^5|^1_{-1}+2x^3|^1_{-1}=1+1+2+2=6\ \ intlimits^1_{-2} {(4x^3+6x)} , dx=intlimits^1_{-2} {4x^3} , dx+intlimits^1_{-2} {6x} , dx=\ =4*frac{x^4}{4}|^1_{-2}+6*frac{x^2}{2}|^1_{-2}=x^4|^1_{-2}+3x^2|^1_{-2}=(1-16)+3(1-4)=\ =-15-9=-24$