Question

Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют.
С рисунком.

Answer 1

Решение дано во вложении.

Answer 2

Спасибо!)

Answer 3

Пожалуйста, давайте еще))

Answer 4

Так как вписанная и описанная окружности существуют, то данная трапеция равнобедренной.

По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:
$AB+CD=AD+BC$
Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:
$AB=CD= frac{4+16}{2} =10$

Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем:
$HK=4$; $AH=KD= frac{16-4}{2} =6$

Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:
$BH= sqrt{AB^2-AH^2} \ BH= sqrt{10^2-6^2} =8$
Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:
$r= frac{BH}{2} = frac{8}{2} =4$

Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:
$AC= sqrt{AK^2+CK^2} = sqrt{(AH+HK)^2+CK^2} \ AC= sqrt{(6+4)^2+8^2} = sqrt{164} =2 sqrt{41}$

Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:
$2R= frac{CD}{sin CAD}$
Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:
$sin CAD=sin CAD= frac{CK}{AC}$
Выражаем R и подставляем выражение для синуса:
$R= frac{CD}{2sin CAD} =frac{CDcdot AC}{2 CK} \ R= frac{CD}{2sin CAD} =frac{10cdot 2 sqrt{41} }{2 cdot 8} =frac{5 sqrt{41} }{4}$

Ответ: радиус вписанной окружности $4$; радиус описанной окружности $frac{5 sqrt{41} }{4}$