Question

У рівносторонньому трикутнику висота 9 дм, знайти площу круга вписаного в данний трикутник.

Answer 1

Пусть r-радиус вписаного круга,  S-площадь круга,  h-высота треугольника, а-сторона треугольника
$S= pi r^2\\r=frac{a}{2sqrt{3}}=frac{asqrt{3}}{2sqrt{3}sqrt{3}}=frac{asqrt{3}}{2sqrt{9}}=frac{asqrt{3}}{2*3}=frac{asqrt{3}}{6}\\S= pi (frac{asqrt{3}}{6})^2=pifrac{a^2*3}{36}=pi*frac{a^2}{12}\\h=frac{sqrt{3}a}{2}= textgreater a=frac{2h}{sqrt{3}}\\S=pifrac{(frac{2h}{sqrt{3}})^2}{12}=pifrac{frac{4h^2}{3}}{12}=pifrac{4h^2}{3*12}=pifrac{h^2}{3*3}=pifrac{h^2}{9}=3,14frac{9^2}{9}=\\=3,14*9=28,26(dm^2)$Ответ: площадь вписаного круга равна 28,26 кв. дм.