Question

Найдите велечину:
1) 12% которой равны 18 м ; 75 м ;
2) 8% которого равны 56 кг; 4 кг
3) 15% которого равны 12 см; 2,7 см
4) 24% который равны 9,6 т; 42 т;
5) 35% которого равны 21 км; 11,2 км
6) 75% которого равны 15 ц; 90 ц.

Answer 1

В любом параллелограмме:

1) Противоположные стороны равны2) Противоположные углы равны3) Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Давай проведём диагональ ACdisplaystyle ACAC. Что получится?
Два треугольника: ABCdisplaystyle ABCABC и ADCdisplaystyle ADCADC.

Раз ABCDdisplaystyle ABCDABCD – параллелограмм, то :

AD∣∣BCdisplaystyle AD||BCAD∣∣BC ⇒ ∠1=∠2displaystyle Rightarrow ~angle 1=angle 2⇒ ∠1=∠2 как накрест лежащиеAB∣∣CD displaystyle AB||CDAB∣∣CD  ⇒ ∠3=∠4displaystyle Rightarrow ~angle 3=angle 4⇒ ∠3=∠4 как накрест лежащие.

Значит, ΔABC=ΔADCdisplaystyle Delta ABC=Delta ADCΔABC=ΔADC (по II признаку: ∠1=∠2,  ∠3=∠4 displaystyle angle 1=angle 2,~~angle 3=angle 4~∠1=∠2,  ∠3=∠4  и ACdisplaystyle ACAC - общая.)

Ну вот, а раз ΔABC=ΔADCdisplaystyle Delta ABC=Delta ADCΔABC=ΔADC, то AB=CDdisplaystyle AB=CDAB=CD и AD=BCdisplaystyle AD=BCAD=BC – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь ∠1+∠3=∠2+∠4displaystyle angle 1+angle 3=angle 2+angle 4∠1+∠3=∠2+∠4 (смотри на картинку), то есть ∠A=∠Cdisplaystyle angle A=angle C∠A=∠C, а ∠B=∠Ddisplaystyle angle B=angle D∠B=∠D именно потому, что ΔABC=ΔADCdisplaystyle Delta ABC=Delta ADCΔABC=ΔADC.

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Мы уже выяснили, что AB=CDdisplaystyle AB=CDAB=CD. Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что ΔAOB=ΔCODdisplaystyle Delta AOB=Delta CODΔAOB=ΔCOD - по II признаку (2displaystyle 22 угла и сторона «между» ними).

Значит, BO=ODdisplaystyle BO=ODBO=OD (напротив углов ∠2displaystyle angle 2∠2 и ∠1displaystyle angle 1∠1) и AO=OCdisplaystyle AO=OCAO=OC (напротив углов ∠3displaystyle angle 3∠3 и ∠4displaystyle angle 4∠4 соответственно).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

AB=CDdisplaystyle AB=CDAB=CD;AB∥CDdisplaystyle ABparallel CDAB∥CD ⇒displaystyle Rightarrow⇒ ABCDdisplaystyle ABCDABCD – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему AD∥BCdisplaystyle ADparallel BCAD∥BC – этого хватит. Но смотри:

ΔABC=ΔADCdisplaystyle Delta ABC=Delta ADCΔABC=ΔADC по 1 признаку: AB=CDdisplaystyle AB=CDAB=CD, ACdisplaystyle ACAC- общая и ∠1=∠2displaystyle angle 1=angle 2∠1=∠2 как накрест лежащие при параллельных ABdisplaystyle ABAB и CDdisplaystyle CDCD и секущей ACdisplaystyle ACAC.

А раз ΔABC=ΔADCdisplaystyle Delta ABC=Delta ADCΔABC=ΔADC,

то ∠3=∠4displaystyle angle 3= angle 4∠3=∠4 (лежат напротив ABdisplaystyle ABAB и CDdisplaystyle CDCD соответственно). Но это значит, что AD∣∣BCdisplaystyle AD||BCAD∣∣BC (∠3displaystyle angle 3∠3 и ∠4displaystyle angle 4∠4 - накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, .

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.AB=CDdisplaystyle AB=CDAB=CD, AD=BCdisplaystyle AD=BCAD=BC ⇒displaystyle Rightarrow⇒ ABCDdisplaystyle ABCDABCD – параллелограмм.

 Снова проведём диагональ ACdisplaystyle ACAC.

Теперь ΔABC=ΔACDdisplaystyle Delta ABC=Delta ACDΔABC=ΔACD просто по трём сторонам.

А значит:

∠1=∠2displaystyle angle 1=angle 2∠1=∠2 ⇒AD∥BCdisplaystyle Rightarrow ADparallel BC⇒AD∥BC и ∠3=∠4displaystyle angle 3=angle 4∠3=∠4 ⇒AB∥CDdisplaystyle Rightarrow ABparallel CD⇒AB∥CD, то есть ABCDdisplaystyle ABCDABCD – параллелограмм.Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.∠A=∠Cdisplaystyle angle A=angle C∠A=∠C, ∠B=∠Ddisplaystyle angle B=angle D∠B=∠D ⇒displaystyle Rightarrow⇒ ABCDdisplaystyle ABCDABCD – параллелограмм.

2α+2β=360∘displaystyle 2alpha +2beta =360{}^circ2α+2β=360​∘​​ (ведь ABCDdisplaystyle ABCDABCD – четырехугольник, а ∠A=∠Cdisplaystyle angle A=angle C∠A=∠C, ∠B=∠Ddisplaystyle angle B=angle D∠B=∠D по условию).

Значит, α+β=180∘displaystyle alpha +beta =180{}^circα+β=180​∘​​. Ух! Но αdisplaystyle alphaα и βdisplaystyle betaβ – внутренние односторонние при секущей ABdisplaystyle ABAB!

Поэтому тот факт, что α+β=180∘displaystyle alpha +beta =180{}^circα+β=180​∘​​ означает, что AD∥BCdisplaystyle ADparallel BCAD∥BC.

А если посмотришь с другой стороны, то αdisplaystyle alphaα и βdisplaystyle betaβ – внутренние односторонние при секущей ADdisplaystyle ADAD! И поэтому AB∥CDdisplaystyle ABparallel CDAB∥CD.

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.AO=OCdisplaystyle AO=OCAO=OC; BO=ODdisplaystyle BO=ODBO=OD ⇒displaystyle Rightarrow⇒ ABCDdisplaystyle ABCDABCD – параллелограмм.