составить задачу по системе уравнений:
х+5=2у
y-1=x
Ответы
7х-2у=27,
5х+2у=33.(1) Предположим, что х и у - это такие числа, при которых оба равенства (1) верны, т.е. (х,у) - решение системы (1).
Сложим почленно эти равенства. Записывается это так:
7х-2у=27, + 5х+2у=33. ---------------------- (7х+5х)+(-2у+2у)=27+33 Из этого уравнения находим: 12х+0у=60, 12х=60, откуда х=5.
Теперь подставим х=5 в одно из уравнений системы (1), например в первое: 7*5-2у=27.
Из полученного уравнения находим: 35-2у=27, -2у=-8, у=4.
Итак, если система (1) имеет решение, то этим решением может быть только пара чисел: х=5, у=4.
Убедимся, что х=5, у=4 в самом деле являются решением системы (1). Это можно сделать простой проверкой.
7*5-2*4=27,
5*5+2*4=33. Оба равенства верные.
Итак система (1) имеет решение: х=5, у=4.
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется способом алгебраического сложения. Для исключения одного из неизвестных нужно выполнить сложение или вычитание левых и правых частей уравнения системы.
Задача 2. Решить систему уравнений
5х+3у=29,5х-4у=8.(2) Вычтем почленно эти равенства. _ 5х+3у=29, 5х-4у=8. ----------------------- (5х-5х)+(3у-(-4у))=29-8 Из этого уравнения находим: 0х+7у=21, 7у=21, откуда у=3.
Теперь подставим у=3 в одно из уравнений системы (2), например во второе: 5х-4*3=8.
Из этого уравнения находим: 5х=8+12, 5х=20, х=4.
Ответ. х=4, у=3.
Из рассмотренных примеров видно, что способ алгебраического сложения оказывается удобным для решения системы в том случае, когда в обоих уравнениях коэффициенты при каком-нибудь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком. Если это не так, то нужно постараться уравнять модули коэффициентов( коэффициенты без учета знака) при каком-нибудь одном из неизвестных, умножая левую и правую части каждого уравнения на подходящее число.
Задача 3. Решить систему уравнений
3х+2у=10,5х+3у=12. Я хочу уравнять коэффициенты обоих уравнений при у. Для этого я первое уравнение умножаю на 3, а второе - на 2. Получу:
3х+2у=10, | *3
5х+3у=12. | *29х+6у=30,
10х+6у=24. Почленно вычту из второго уравнения первое. _ 10х+6у=24, 9х+6у=30. ------------- х=-6 Подставлю значение х=-6 в первое уравнение системы, получу: 3*(-6)+2у=10, -18+2у=10, 2у=28, у=14.
Ответ. х=-6, у=14.
Итак, для решения системы уравнений способом алгебраического сложения нужно:
1) уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;
2) складывая или вычитая почленно полученные уравнения , найти одно неизвестное;
3) подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найдем второе неизвестное.
Задача 4. Решить систему уравнений
4х-3у=14,х+2у=-2. 1) уравниваем коэффициенты при х:4х-3у=14, | *1
х+2у=-2. | *44х-3у=14,
4х+8у=-8. 2) почленно вычитаем из второго уравнения первое
_ 4х+8у=-8, 4х-3у=14. -------------- 8у-(-3у)=-8-14 Откуда получаем, что 11у=-22, у=-2.
3) подставляем у=-2 во второе уравнение исходной системы.
Получаем: х+2*(-2)=-2, х-4=-2, х=2.
Ответ. х=2, у=-2.