Question

Докажите, что:
1)если натуральное число не делится на 3, то разность его квадрата и единицы делится на 3;
2)разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.

Answer 1

2) 7*7 -  3*3=49-9=40
40/8=5
9*9  -  5*5=81-25=7
и т.п
1)4*4=16-1=153=5
2*2-1=33=1

Answer 2

1.
n=3k+1, k∈N
n²-1=9k²+6k+1-1=9k²+6k=3(3k²+2k) - т.е. делится на 3

n=3k+2, k∈Z
n²-1=9k²+12k+4-1=9k²+12k+3=3(3k²+4k+1) - т.е. делится на 3

2. n=2k+1, m=2l+1, k,l∈Z
|n²-m²|=|4k²+4k+1-4l²-4l-1|=4|(k²-l²)+(k-l)|=4|(k-l)(k+l+1)|    (1)

Если k и l - четные или нечетные одновременно, то тогда разность k-l четная, а значит (1) делится на 8.

Если одно из k и l четное а другое нечетное, то тогда сумма k+l+1 четная, а значит (1) делится на 8.