Question

докажите, что в произвольном треугольнике прямые , проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Answer 1

Я тоже тут отмечусь, уж простите :)
Треугольник ABC, стороны (противолежащие углам) a, b, c,
Точка K делит сторону BC = a на отрезки CK = x и BK = a - x;
Точка M делит сторону AC = b на отрезки AM = y и CM = b - y;
Точка N делит сторону AB = c на отрезки BC = z и AC = c - z;
Получается из условия деления периметра пополам
b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; CK = p - b;
где p - полупериметр ABC; p  = (a + b + c)/2;
a - x = BK = p - c;
Аналогично
AM = p - c; CM = p - a;
BN = p - a; AN = p  - b;
То есть AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1;
Остается сослаться на обратную теорему Чевы.

Answer 2

Конечно, "прямая" и "обратная" - это терминология. Оба утверждения доказаны, поэтому их можно "свести в одно" и считать, что оно "работает в обе стороны". Это уже вопрос для "методиста", а не для математика.

Answer 3

Я хочу рассказать одну "поучительную" историю :))) На выпускном экзамене по математике у меня была теорема синусов. Я дал формулировку, как положено. Меня выгнали с экзамена, и был большой скандал (всё-таки победитель всяких олимпиад и т.д.). Вместо слова "пропорциональны", как требовалось РОНО, я сказал "отношения равны". Чуть "пару" не схлопотал...

Answer 4

Так вот, с тех пор я НИКОГДА не придерживаюсь "методических указаний". У меня есть (АБСОЛЮТНО ПРАВИЛЬНОЕ) убеждение, что я знаю предмет лучше любого РОНО - или как оно там сейчас называется. Вообще, слушать ДУРАКОВ вредно, а дураков с положением - особенно вредно.

Answer 5

Я не призывают никого демонстративно нарушать предписанные правила, как раз - наоборот. Просто дураков всегда надо видеть, понимать и ОБХОДИТЬ. По-возможности - аккуратно, ибо они агрессивны и опасны. В конце концов они все равно проиграют, потому что умные всегда выигрывают. Просто потери могут быть невосполнимые, их следует ТЩАТЕЛЬНО избегать.

Answer 6

В моей истории я просто обязан был ПАРАЛЛЕЛЬНО взять на заметку требования РОНО, и на экзамене дать именно требуемое определение. Это было мое упущение, но оно заключалось не в теореме синусов, а в том, что я ЗАДЕЛ ДУРАКОВ.