Question

Выясните при каких значениях X дробь х^4+7х^2+12/2х-х^2 положительна и при каких отрицательна.

Answer 1

$dfrac{x^4+7x^2+12}{2x-x^2}=dfrac{(x^2+3)(x^2+4)}{x(2-x)}\\x^2+3>0;~~~x^2+4>0;~~~Rightarrow~~~(x^2+3)(x^2+4)>0$

Произведение двух положительных чисел положительно, значит, числитель дроби больше нуля при любых значениях переменной х. Тогда знак дроби зависит только от знаменателя.

2x - x² ≠ 0;    x(2 - x) ≠ 0;    x ≠ 0;    x ≠ 2

Знаки многочлена     2x - x²

------------- (0) +++++++++ (2) ------------>x

1) x∈(-∞; 0) ∪ (2; +∞);

   2x - x²< 0   ⇒  $dfrac{x^4+7x^2+12}{2x-x^2}<0$

2)  x∈(0; 2);    

    2x - x²> 0   ⇒   $dfrac{x^4+7x^2+12}{2x-x^2}>0$

Ответ:  дробь положительна при x∈(0; 2);

            дробь отрицательна при x∈(-∞; 0) ∪ (2; +∞).