Question

найти экстремумы:y=2x^4-2x^2

Answer 1

Краткий ответ:
$y=2x^4-2x^2$
$y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x$
$8x^3-4x=0 \ x(8x^2-4)=0 \ x_{1}=0; \ 8x^2-4=0 \ 8x^2=4 \ x^2=1/2 \ x_{2}=1/ sqrt{2} \ x_{3}=-1/ sqr<strong></strong>t{2}$
$1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \ 2) y( frac{1}{ sqrt{2} } )=2* frac{1}{4} -2* frac{1}{2} =- frac{1}{2} \ 3) y( -frac{1}{ sqrt{2} } )=2* frac{1}{4} -2* frac{1}{2} =- frac{1}{2}$
Ответ: $0; - frac{1}{2}$.
Развернутый ответ:
$y=2x^4-2x^2$
Экстремумы функции - значение функции в точках экстремума (в точках минимума и максимума).
Найдем производную данной функции:
$y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x$
Найдем критические точки (критические точки - точки, в которых производна функции равна нулю или не существует). Для этого приравняем значение производной к 0:
$8x^3-4x=0 \ x(8x^2-4)=0 \ x_{1}=0; \ 8x^2-4=0 \ 8x^2=4 \ x^2=1/2 \ x_{2}=1/ sqrt{2} \ x_{3}=-1/ sqrt{2}$
Отметим данные значения на числовой прямой (см. рис).
Найдем значение производной на каждом из промежутков, чтобы определить поведение функции (убывает или возрастает). Если производная y'>0, то функция возрастает; если производная y'<0, то функция убывает.
Для примера рассмотрим промежуток от $1/ sqrt{2}$ до +∞.
Возьмем любое число из этого промежутка. К примеру, 1.
$y'(1)=8*1^{3} -4*1=8-4=4 textgreater 0$, значит, функция возрастает на данном промежутке.
Аналогичным способом определяем поведения функции на других промежутках.
Поскольку при переходе через точку $x=frac{1}{ sqrt{2} }$ производная изменяет знак с "-" на "+", то эта точка является точкой минимума; при переходе через точку $x=0$ производная изменяет знак с "+" на "-", поэтому эта точка является точкой максимума; при переходе через точку $x=- frac{1}{ sqrt{2} }$ производная изменяет знак с "-" на "+", поэтому эта точка является точкой минимума.
Имеем 3 точки экстремума: $0, frac{1}{ sqrt{2} } , -frac{1}{ sqrt{2} }$
Найдем значение функции в точках экстремума, то есть найдем экстремумы функции:
$1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \ 2) y( frac{1}{ sqrt{2} } )=2* frac{1}{4} -2* frac{1}{2} =- frac{1}{2} \ 3) y( -frac{1}{ sqrt{2} } )=2* frac{1}{4} -2* frac{1}{2} =- frac{1}{2}$
Ответ: $0; - frac{1}{2}$.